Bank soal UN SMA Logaritma dan pembahasannya

Pembahasan soal Ujian Nasional Matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Logaritma yang meliputi sifat-sifat logaritma, persamaan logaritma dan pertidaksamaan logaritma.

Definisi Logaritma
a^x = b  ⇔  x = ^alog b

Syarat Logaritma (^alog b)
Basis : a > 0 ; a ≠ 1
Numerus : b > 0

Sifat-Sifat Logaritma
1.  ^alog 1 = 0
2.  ^alog a = 1
3.  ^alog b + ^alog c = ^alog (bc)
4.  ^alog b − ^alog c = ^alog $\left(\frac{b}{c}\right)$
5.  ^alog b^m = m . ^alog b
6.  ${}^{a^n}$log b^m = $\frac{m}{n}$ . ^alog b
7.  ^alog b . ^blog c = ^alog c
8.  a${}^{{}^{a}logb}$ = b
9.  ^alog b = $\frac{1}{{}^{b}loga}$
10. ^alog b = $\frac{{}^{p}logb}{{}^{p}loga}$

Persamaan Logaritma
^alog b = ^alog c .
Solusi : b = c  ∩  syarat logaritma

Pertidaksamaan Logaritma
^alog b > ^alog c , dengan a > 1
Solusi : b > c  ∩  syarat logaritma

^alog b > ^alog c , dengan 0 < a < 1
Solusi : b < c  ∩  syarat logaritma

^alog b < ^alog c , dengan a > 1
Solusi : b < c  ∩  syarat logaritma

^alog b < ^alog c , dengan 0 < a < 1
Solusi : b > c  ∩  syarat logaritma

Pertidaksamaan Kuadrat
Misalkan pembuat nol suatu pertidaksamaan kuadrat dengan a > 0 adalah p dan q. Untuk p < q, berlaku :

1. Jika pertidaksamaan bertanda ">", maka :$$HP=\left\{x<pataux>q\right\}$$ 
2. Jika pertidaksamaan bertanda "<", maka :$$HP=\left\{p<x<q\right\}$$ 

1.  UN 2004

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-8)<0$ adalah...
A.  {x/ −2 < x < 2}
B.  {x/ −2√2 < x < 2√2}
C.  {x/ x < −3 atau x > 3}
D.  {x/ x < −2√2 atau x > 2√2}
E.  {x/ −3 < x < 2√2 atau 2√2 < x < 2}

Pembahaan :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0

Syarat logaritma :
x² − 8 > 0
(x + √8)(x − √8) = 0
x = −√8 atau x = √8
x = −2√2 atau x = 2√2
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2√2 atau x > 2√2  .................... (1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < ${}^{\frac{1}{2}}$log 1
x² − 8 > 1
x² − 9 > 0
(x + 3)(x − 3) = 0
x = −3 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −3 atau x > 3  ..............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
x < −3 atau x > 3

Jawaban : C


2.  UN 2005
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $2logx\le log(2x+5)+2log2$ adalah...
A.  $-\frac{5}{2}$ < x ≤ 10
B.  −2 ≤ x ≤ 10
C.  0 < x ≤ 10
D.  −2 < x < 0
E.  $-\frac{5}{2}$ ≤ x < 10

Pembahasan :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2

Syarat logaritma :
* x > 0
* 2x + 5 > 0 → x > $-\frac{5}{2}$
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
log x² ≤ log(2x + 5) + log 2²
log x² ≤ log(2x + 5) 4
x² ≤ 8x + 20
x² − 8x − 20 ≤ 0
(x + 2)(x − 10) = 0
x = −2 atau x = 10
Pertidaksamaan bertanda "≤" maka
−2 ≤ x ≤ 10  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x ≤ 10

Jawaban : C


3.  UN 2006
Nilai x yang memenuhi persamaan ${}^{2}log{}^{2}log\left(2^{x+1}+3\right)=1+{}^{2}logx$ adalah...
A.  ²log 3
B.  ³log 2
C.  log$\frac{2}{3}$
D.  −1 atau 3
E.  8 atau $\frac{1}{2}$

Pembahasan :
²log ²log(
x < −3 atau x > 3

Jawaban : C


2.  UN 2005
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $2logx\le log(2x+5)+2log2$ adalah...
A.  $-\frac{5}{2}$ < x ≤ 10
B.  −2 ≤ x ≤ 10
C.  0 < x ≤ 10
D.  −2 < x < 0
E.  $-\frac{5}{2}$ ≤ x < 10

Pembahasan :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2

Syarat logaritma :
* x > 0
* 2x + 5 > 0 → x > $-\frac{5}{2}$
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
log x² ≤ log(2x + 5) + log 2²
log x² ≤ log(2x + 5) 4
x² ≤ 8x + 20
x² − 8x − 20 ≤ 0
(x + 2)(x − 10) = 0
x = −2 atau x = 10
Pertidaksamaan bertanda "≤" maka
−2 ≤ x ≤ 10  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x ≤ 10

Jawaban : C


3.  UN 2006
Nilai x yang memenuhi persamaan ${}^{2}log{}^{2}log\left(2^{x+1}+3\right)=1+{}^{2}logx$ adalah...
A.  ²log 3
B.  ³log 2
C.  log$\frac{2}{3}$
D.  −1 atau 3
E.  8 atau $\frac{1}{2}$

Pembahasan :
²log ²log(2^x+1 + 3) = 1 + ²log x

Syarat logaritma :
* 2^x+1 + 3 > 0 → x ∈ R
* ²log(2^x+1 + 3) > 0  → x ∈ R
* x > 0

Penyelesaian persamaan logaritma :
²log ²log(2^x+1 + 3) = 1 + ²log x
²log ²log(2^x+1 + 3) = ²log 2 + ²log x
²log ²log(2^x+1 + 3) = ²log 2x
²log(2^x+1 + 3) = 2x
2^2x = 2^x+1 + 3
 2^2x − 2^x+1 − 3 = 0
 (2^x)² − 2^x.2¹ − 3 = 0

Misalkan 2^x = y
 y² − 2y − 3 = 0
(y + 1)(y − 3) = 0
y = −1 atau y = 3

2^x = −1 → x ∉ R
2^x = 3 ⇔ x = ²log 3

Jawaban : A


4.  UN 2006
Penyelesaian pertidaksamaan $log(x-4)+log(x+8)<log(2x+16)$ adalah...
A.  x > 6
B.  x > 8
C.  4 < x < 6
D.  −8 < x < 6
E.  6 < x < 8

Pembahasan :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)

Syarat logaritma :
* x − 4 > 0 → x > 4
* x + 8 > 0 → x > −8
* 2x + 16 > 0 → x > −8
Irisan dari syarat diatas :
x > 4  .............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log(x − 4)(x + 8) < log(2x + 16)
(x − 4)(x + 8) < 2x + 16
x² + 4x − 32 < 2x + 16
x² + 2x − 48 < 0
(x + 8)(x − 6) = 0
x = −8 atau x = 6
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−8 < x < 6  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
4 < x < 6

Jawaban : C


5.  UN 2006
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ${}^{3}log(5-x)+{}^{3}log(1+x)<{}^{3}log(6x-10)$ adalah...
A.  x < −5 atau x > 3
B.  1 < x < 5
C.  $\frac{5}{3}$ < x < 5
D.  3 < x < 5
E.   −5 < x < 3

Pembahasan :
³log(5 − x) + ³log(1 + x) < ³log(6x − 10)

Syarat logaritma :
* 5 − x > 0 → x < 5
* 1 + x > 0 → x > −1
* 6x − 10 > 0  → x > $\frac{5}{3}$
Irisan dari syarat diatas :
$\frac{5}{3}$ < x < 5  ....................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
³log(5 − x) + ³log(1 + x) < ³log(6x − 10)
³log(5 − x)(1 + x) < ³log(6x − 10)
(5 − x)(1 + x) < 6x − 10
5 + 4x − x² < 6x − 10
x² + 2x − 15 > 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x = −5 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −5 atau x > 3  ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
3 < x < 5

Jawaban : D


6.  UN 2007
Jika ²log 3 = a dan ³log 5 = b, maka ¹⁵log 20 = ...
A.  $\frac{2}{a}$
B.  $\frac{2+ab}{a(1+b)}$
C.  $\frac{a}{2}$
D.  $\frac{b+1}{2ab+1}$
E.  $\frac{a(1+b)}{2+ab}$

Penyelesaian :
²log 3 = a  ⇔  ³log 2 = $\frac{1}{a}$
³log 5 = b 

$\begin{array}{cc}{}^{15}log20& =\frac{{}^{3}log20}{{}^{3}log15}\\ & =\frac{{}^{3}log(2^2\times 5)}{{}^{3}log(3\times 5)}\\ & =\frac{{}^{3}log{2}^2+{}^{3}log5}{{}^{3}log3+{}^{3}log5}\\ & =\frac{2\cdot {}^{3}log2+{}^{3}log5}{{}^{3}log3+{}^{3}log5}\\ & =\frac{2\left(\frac{1}{a}\right)+b}{1+b}\cdot \frac{a}{a}\\ & =\frac{2+ab}{a(1+b)}\end{array}$

Jawaban : B


7.  UN 2008
Diketahui ²log 7 = a dan ²log 3 = b, maka nilai dari ⁶log 14 adalah...
A.  $\frac{a}{a+b}$
B.  $\frac{a+1}{a+b}$
C.  $\frac{a+1}{b+1}$
D.  $\frac{a}{a(1+b)}$
E.  $\frac{a+1}{a(1+b)}$

Penyelesaian :
²log 7 = a
²log 3 = b

$\begin{array}{cc}{}^{6}log14& =\frac{{}^{2}log14}{{}^{2}log6}\\ & =\frac{{}^{2}log(2\times 7)}{{}^{2}log(2\times 3)}\\ & =\frac{{}^{2}log2+{}^{2}log7}{{}^{2}log2+{}^{2}log3}\\ & =\frac{1+a}{1+b}\end{array}$

Jawaban : C


8.  UN 2008
Akar-akar dari persamaan ${}^{2}lo{g}^{2}x-6{}^{2}logx+8={}^{2}log1$ adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ =...
A.  6
B.  8
C.  10
D.  12
E.  20

Pembahasan :
²log²x − 6 ²log x + 8 = ²log 1

Syarat logaritma :
x > 0 ..............................(1)

Penyelesaian persamaan logaritma :
²log²x − 6 ²log x + 8 = ²log 1
(²log x)² − 6 ²log x + 8 = 0

Misalkan :  ²log x = y
y² − 6y + 8 = 0
(y − 2)(y − 4) = 0
y = 2 atau y = 4

²log x = 2 ⇔ x = 2² = 4
²log x = 4 ⇔ x = 2⁴ = 16

x₁ + x₂ = 4 + 16 = 20

Jawaban : E


9.  UN 2009
Diketahui ${}^{64}log\sqrt{{16}^{x-4}}=\frac{1}{2}$. Nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
A.  −5$\frac{1}{2}$
B.  −4$\frac{3}{4}$
C.  4
D.  5$\frac{1}{2}$
E.  9$\frac{1}{2}$

Penyelesaian :
⁶⁴log$\sqrt{{16}^{x-4}}=\frac{1}{2}$

Syarat logaritma :
$\sqrt{{16}^{x-4}}$ > 0 → x ∈ R

Penyelesaian persamaan logaritma :
⁶⁴log$\sqrt{{16}^{x-4}}$ = $\frac{1}{2}$
⁶⁴log$\sqrt{{16}^{x-4}}$ = ⁶⁴log 64${}^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt{{16}^{x-4}}$ = 64${}^{\frac{1}{2}}$  (kuadratkan kedua ruas)
16^x-4 = 64
2^4(x-4) = 2⁶
4(x − 4) = 6
4x − 16 = 6
4x = 22
x = 5$\frac{1}{2}$

Jawaban : D


10.  UN 2010
Nilai dari $\frac{{}^{3}log\sqrt{6}}{{\left({}^{3}log18\right)}^2-{\left({}^{3}log2\right)}^2}=...$
A.  $\frac{1}{8}$
B.  $\frac{1}{2}$
C.  1
D.  2
E.  8

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}\frac{{}^{3}log\sqrt{6}}{{(}^{3}log18{)}^2-{(}^{3}log2{)}^2}& =\frac{{}^{3}log\sqrt{6}}{{(}^{3}log18+{}^{3}log2){(}^{3}log18-{}^{3}log2)}\\ & =\frac{{}^{3}log\sqrt{6}}{{(}^{3}log36\left){(}^{3}log9\right)}\\ & =\frac{{}^{3}log\sqrt{6}}{{}^{3}log36}\cdot \frac{1}{{}^{3}log9}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\cdot {}^{3}l\text{/}og6}{2\cdot {}^{3}l\text{/}og6}\cdot \frac{1}{2}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\cdot 1}{2\cdot 2}\\ & =\frac{1}{8}\end{array}$

 Jawaban : A
Demikianlah pembahasan soal logaritma kali ini.semoga bermanfaat.jangan lupa dukung blogger ini dengan cara follow ,like dan komen.
Terimakasih